Curso CEMLA: Matemáticas Financieras (introductorio)

La parte teórica del Curso de Matemáticas Financieras se impartió en línea durante dos jornadas. El curso estuvo dirigido a participantes con experiencias y niveles de formación diversos, por lo que el propósito no fue comenzar con una colección de fórmulas, sino construir una conversación alrededor de las preguntas que dan origen a la disciplina: cómo comparar cantidades de dinero en fechas distintas, cómo representar la incertidumbre y cómo valuar contratos cuyos pagos dependen de precios, tasas de interés o tipos de cambio.

El punto de partida fue muy concreto. Se habló del valor del dinero en el tiempo, de rendimientos, volatilidad y riesgo, y de la manera en que los derivados permiten modificar una exposición financiera. Los forwards, futuros, opciones y swaps se presentaron primero como contratos que redistribuyen riesgos. Esta perspectiva ayudó a que la matemática apareciera como una respuesta natural a un problema económico y no como un conjunto de técnicas desconectadas de la práctica.

De los movimientos aleatorios a los modelos en tiempo continuo

Después se discutió por qué una ecuación diferencial ordinaria, aunque útil como referencia, no basta para describir la evolución irregular de los precios financieros. A partir de caminatas aleatorias y de la acumulación de pequeñas perturbaciones se llegó al movimiento browniano. La idea central fue que las trayectorias pueden ser continuas y, al mismo tiempo, tan irregulares que no admiten una derivada ordinaria. Esa observación explica por qué se necesita un cálculo distinto.

Con esta motivación se introdujeron las ecuaciones diferenciales estocásticas y el cálculo de Itô. Se revisaron modelos sencillos, como el movimiento browniano aritmético y el geométrico, así como procesos con reversión a la media y modelos en los que la propia volatilidad evoluciona aleatoriamente. Más que agotar sus detalles técnicos, se buscó mostrar que cada elección de deriva y volatilidad expresa una manera distinta de entender el comportamiento del activo.

El puente entre probabilidad y valuación

En la segunda jornada se presentó el teorema de Feynman Kac como el puente que conecta dos lenguajes: el de los procesos estocásticos y el de las ecuaciones diferenciales parciales. Esta conexión permite representar el valor de un contrato financiero como un valor esperado descontado, siempre que se utilice la medida de probabilidad apropiada. En este punto se subrayó una distinción importante: la probabilidad empleada para valuar no tiene que coincidir con la probabilidad histórica con la que realmente se mueven los precios.

Finalmente, todas las piezas se reunieron en la fórmula de Black Scholes. La ecuación se explicó a partir de un portafolio replicante y del principio de ausencia de arbitraje. De esta manera, la fórmula dejó de verse como un resultado aislado y apareció como la consecuencia de una secuencia de ideas: modelar la incertidumbre, construir una cobertura y exigir consistencia entre estrategias que producen los mismos flujos.

El mensaje general

La discusión se cerró con opciones europeas, digitales y americanas. En el caso americano, la posibilidad de ejercer antes del vencimiento permitió introducir intuitivamente la comparación entre ejercer y continuar, así como la idea de una frontera libre. Esto preparó el terreno para la fase presencial, en la que estos problemas se retomaron mediante el modelo binomial, métodos numéricos, simulación y ejercicios aplicados.

El mensaje que articuló las sesiones fue sencillo: en matemática financiera, lo esencial es comprender qué riesgo se está modelando, cuáles son los flujos del contrato, qué supuestos permiten valuarlo y qué parte de la realidad queda fuera del modelo. La matemática proporciona precisión, pero su utilidad depende de que se conserve esa interpretación económica.